要通过食品BRC认证，工厂需要遵循以下步骤：

1. 自我评估审核：工厂需要依据BRC认证的新标准文件进行自我评估审核。

2. 选择审核机构：选择BRC认可的审核机构，并约定审核日期，支付审核费用。

3. 文件审核与现场审核：审核机构将对工厂进行文件审核和现场审核，包括对企业的实际操作和管理进行评估。

4. 问题整改：针对审核中发现的问题点，工厂需要制定整改计划并进行整改。

5. 审核结果：审核机构依据审核报告及终的整改结果决定是否发放证书。

至于三明BRC认证的费用，由于BRC认证的费用因多种因素而异，包括企业规模、认证标准、认证机构和地理位置等，并没有一个固定的价格。一般而言，认证费用包括认证审核费、认证注册费、认证咨询费、认证辅导培训费以及认证审核差旅费等。具体费用需要根据企业自身情况合理预算，并选择具有资质和经验的认证机构进行合作。由于没有提供具体的三明地区的BRC认证费用信息，建议直接咨询当地的认证机构以获取准确的报价。